线面交点

2018-12-19 18:56:08
线面交点的三种情况:
1. 没有交点;
2. 有且只有一个交点;
3. 有无数个交点。
在解析几何中, 一条直线与一个平面的交点可能是空集、一个点或一条直线。在计算机图形学、运动规划和碰撞检测中,经常需要分析相交类型,以及计算出点坐标或线的方程。

目录

  • 1 代数形式
  • 2 参数形式
  • 3 应用
  • 4 外部链接

代数形式[编辑]

空间中一个平面可以表示为点 的集合
其中 是该平面的法线,是平面上任意一点。(表示向量 的数量积) 而直线可表示为
其中 是该直线的方向向量,是直线上任意一点,是实数范围内的标量。将直线方程代入平面方程得
展开得
解得
,则直线与平面平行。此时,如果(,则该直线在平面内,即直线上所有的点都是交点。否则,直线与平面没有交点。 若 ,则直线与平面有且只有一个交点。解得 ,则交点的坐标为
.

参数形式[编辑]

直线与平面的交点
空间中一条直线可以用一个点和一个给定的方向来描述。则一条直线可以表示为如下点的集合
其中 是直线上两个不同的点。 相似地,一个平面可以表示为如下点的集合
其中 是平面上不共线的三个点。 直线和平面的交点可以表示为将直线上的点代入平面方程内,则参数方程如下:
用矩阵表示为
可得点的坐标为
若直线与平面平行或在平面内,那么向量 是线性独立的,且矩阵为奇异矩阵。 若满足 ,则交点在直线上 之间。 若满足
则交点位于平面上 所构成的三角形中。 该问题可用矩阵的形式表示解答:

应用[编辑]

在计算机图形学中的光线追踪算法中,一个面可以被表示为几个平面的集合。一个面的图像可以用光线与每个面的交点表达。在基于视觉的三维重建中(计算机视觉的一个子场),深度通常是由“三角测量法”测算的。

外部链接[编辑]

  • Intersections of Lines, Segments and Planes (2D & 3D) from GeomAlgorithms.com